domenica 27 settembre 2015

Paradossi



Paradosso: una proposizione formulata in apparente contraddizione con l'esperienza comune o con i principi elementari della logica. La parola deriva dal greco παρά (contro) e δόξα (opinione).


Il paradosso più celebre è senza dubbio quello del mentitore

Epimenide cretese afferma:
"Tutti i cretesi sono mentitori"
che si può riformulare semplicemente scrivendo:
"Questa frase è falsa."

Tale paradosso si basa sulla autoreferenzialità, a tal proposito segnalo questo articolo sulle autoreferenze

Alcuni paradossi possono essere piuttosto divertenti.
Pensiamo al seguente esempio: 

Questa frase contiene sei parole. 
Chiaramente chiunque sappia contare almeno fino a 6, contesterà che le parole sono solamente 5. Allora la frase è falsa, il suo contrario deve essere vero: 
Questa frase non contiene sei parole. 
Ops! C'è soluzione all'impiccio?


I paradossi semantici - come quello del mentitore - vengono risolti attraverso il concetto di metalinguaggio introdotto dal matematico Alfred Tarski. Questo metalinguaggio è uno strumento "più ricco" del linguaggio con il quale sono formulati gli enunciati, e permette di riferirsi ai loro valori di verità.

Uno dei più celebri paradossi è quello del barbiere:
In un villaggio c'è un solo barbiere che rade tutti coloro che non si radono da sé. Chi rade il barbiere?
Questa altro non è che una formulazione equivalente del paradosso proposto da Bertrand Russell: 
L'insieme A contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi. Il suddetto insieme contiene se stesso?
  • . Allora se A contiene se stesso viola la legge che lo caratterizza.
  • No. Ma se non contiene se stesso allora rispetta la legge e deve far parte dell'insieme. 


Si ha soluzione affermando che l'insieme di tutti gli insiemi non è un insieme.

Ma veniamo a noi. Che hanno a che vedere i paradossi con la matematica? Ebbene, in generale un paradosso semantico può essere espresso come un enunciato di teoria degli insiemi, la quale diventa il mezzo matematico per la sua eventuale risoluzione.

Analogamente a quanto fece Tarski, Russell propose una teoria, detta teoria dei tipi, con la quale eliminare il problema degli insiemi auto-contraddittori mediante una gerarchia infinita di tipi di insiemi.

Molti paradossi derivano proprio dal controverso concetto di infinito.

Ad esempio i paradossi di Zenone:
Non si può giungere all'estremità di uno stadio senza prima aver raggiunto la metà di esso, ma una volta raggiunta la metà si dovrà raggiungere la metà della metà rimanente e così via, senza quindi mai riuscire a raggiungere l'estremità dello stadio.
Il paradosso è molto simile a quello di Achille e la tartaruga.



Il Paradosso di Achille e la tartaruga afferma che se Achille venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e le concedesse un vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l'infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.

Il paradosso sta nel fatto che secondo Zenone una somma di infiniti termini non può dare un risultato finito. Invece con gli strumenti dell'analisi, sappiamo, per la felicità di Achille, che la somma infinita 1 + 1/2 + 1/4 + ... converge a 2.
La povera tartaruga è destinata a perdere la gara se non corre più veloce del suo inseguitore.




Un altro argomento è quello della freccia, che appare in movimento ma, in realtà, è immobile: in ogni istante essa occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatto di singoli istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi. 

Un bel paradosso relativo all'infinito è conosciuto col nome di Hotel di Hilbert.

Un bel video che spiega il funzionamento dell'Hotel Hilbert.

Tale storiella su Hilbert ed il suo hotel con infinite stanze mette in evidenza che la cardinalità dell'insieme dei numeri Naturali e la cardinalità dell'insieme dei numeri pari - che ne costituisce un sottoinsieme - sono in realtà la stessa. 

Troviamo paradossi persino in letteratura. Ad esempio si veda il paradosso della sentinella in Don Chisciotte: 

Signore, un largo fiume divideva due province d'un medesimo stato. Stia bene attenta la Signoria Vostra, perché il caso è di grande importanza e un po' difficile. Dico dunque che sopra questo fiume c'era un ponte, e in cima a questo ponte una forca e un tribunale, dove di solito stavano quattro giudici, che giudicavano secondo la legge fatta dal padrone del fiume, del ponte e dello stato; la qual legge era cosi formulata:
"Se uno passa su questo ponte da una riva all'altra, deve prima dichiarare con giuramento dove va e quel che va a fare. Se giura il vero, sia lasciato passare, ma se mente, sia impiccato sulla forca qui inalzata senza alcuna remissione".
Conosciuta questa legge e la rigorosa condizione, molti passavano lo stesso, perché dopo che s'era riscontrato che quanto dichiaravano sotto giuramento era perfettamente vero, i giudici li lasciavano passare liberamente. 
Pablo Picasso, Don Quijote de la Mancha
Ora accadde una volta che un tale, invitato a giurare, giurò e disse: 
"Giuro che passo di qui per andare a morire su quella forca laggiù,e non per altra ragione". 
I giudici rifletterono a questo giuramento e dissero:
"Se quest'uomo lo lasciamo passare liberamente, ha giurato il falso e secondo la legge deve morire; ma se noi l'appicchiamo, siccome egli ha giurato che passava per andare a morire su quella forca, allora ha detto verità, e secondo la stessa legge, avendo giurato la verità, deve esser lasciato il libero".
Ora, si domanda alla Signoria Vostra, signor governatore, che cosa faranno i giudici di quest'uomo? Poiché essi sono ancora lì, incerti e dubitosi. Siccome son venuti a conoscere l'acuta ed elevata intelligenza della Signoria Vostra, mi hanno inviato a supplicarla da parte loro a voler dare il suo parere in un caso cosi intricato e dubbio.
citato da: Michele Cervantes, Don Chisciotte della Mancia, traduzione di Ferdinando Carlesi, vol.II, Cap.51, A. Mondadori Editore, 1969.

Chiudo con questo paradosso simpatico che riguarda i miei amici Alice e Bob:
Alice: Bob, ho una sorpresa per te dietro quella porta.
Bob: Se apro la porta non avrò la sorpresa, in quanto so già che c'è qualcosa per me. Dunque non c'è niente dietro quella porta.
Apre la porta. Trova un pacchetto.
Bob: Sono confuso, hai detto che avrei trovato una sorpresa, e io ho dedotto che per essere una sorpresa non avrei dovuto trovare niente. Ma avendo trovato un pacchetto mi hai colto comunque di sorpresa!
La sorpresa di Bob quando apre la porta sarà simile a quella di Paperino?